Як знаходити асимптоти

Асимптотою графіка функції y = f (x) називається пряма, графік якої необмежено додається до графіка функції при необмеженому видаленні довільної точки M (x, y), що належить f (x) на нескінченність (позитивну або негативну), ніколи не перетинаючи графік функції. Видалення точки на нескінченність передбачає під собою і випадок, коли до нескінченності прагне тільки ординату або абсцисау = f (x). Розрізняють вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти. Вам потрібен

  На практиці вертикальні асимптоти відшукуються зовсім просто. Це точки нулів знаменника функції
f (x) .Вертикальна асимптота - це вертикальна пряма. Її рівняння x = a. Тобто. при х тих, хто прагне до a (праворуч або ліворуч), функція прагне до нескінченності (позитивної або негативної

) .Горізонтальна асимптота - це горизонтальна пряма y = A, до якої графік функції необмежено наближається при прагненні хк нескінченності (позитивної або негативно) (див

. ризи.1), тобто похилі асимптоти знаходять трохи більш складно. Визначення їх залишається колишнім, але задаються вони рівнянням прямої лінії y = kx + b. Відстань від асимптоти до графіка функції тут, відповідно до малюнка 1 становить |MP|. Очевидно, що якщо |MP| прагне до нуля, то до нуля прагне і довжина відрізка |MN |. Точка М - ординату асимптоти, N - функції f (x). Абсциса
у них загальна. Відстань |MN|=f (xM) - (kxM + b) або просто f (x) - (kx + b) , де k- тангенс кута нахилу пряної (асимптоти) до осі абсцис.(x) - (kx + b) прагне до нуля, тому k можна знайти як межу стосунку(f (x) - b )/х, при х прагнутому

до нескінченності (див. рис.2) .Післе знаходження k, слід визначити b, обчисливши межу різниці f(x) - kx, при х до нескінченності
(див. ризи.3). Далі вам необхідно побудувати графік асимптоти

, також як і прямий y = kx + b.Приклад. Знайти асимптоти
графіка функції = (x ^ 2 + 2x-1 )/( x-1) .1. Очевидна вертикальна
асимптота x = 1 (як нуль знаменника) .2. y/x = (x. 2 + 2x-1 )
/( x-1) x = (x. 2 + 2x-1 )/( x. 2-x). Тому, обчисливши межі
нескінченності від останнього раціонального дробу, вийде k = 1.f (x) -k
x = (x. 2 + 2x-1 )/( x-1) - x = (x. 2 + 2x) вихідне рівняння похилої асимптоти матиме вигляд:y = x + 3 (див. 4).