Як знайти точки перегину функції

Щоб знайти точки перегину функції, потрібно визначити, в яких місцях її графік змінює випуклість на вогненність і навпаки. Алгоритм пошуку пов'язаний з обчисленням другої похідної та аналізом її поведінки в околиці деякої точки.

Точки перегину функції повинні належати області її визначення, яку потрібно знайти в першу чергу. Графік функції - це лінія, яка може бути безперервною або мати розриви, монотонно вбивати або зростати, мати мінімальні або максимальні точки (асимптоти), бути випуклою або увігнутою. Різка зміна двох останніх станів і називається перегином.

Необхідна умова існування точок перегину функції полягає в рівності другої похідної нулю. Таким чином, двічі продифференціювавши функцію і прирівнявши отриманий вираз нулю, можна знайти абсциси можливих точок перегину.

Ця умова випливає з визначення властивостей випуклості та вогнутості графіка функції, тобто від'ємного і позитивного значення другої похідної. У точці перегину відбувається різка зміна цих властивостей, значить, похідна переходить нульову позначку. Однак рівності нулю ще недостатньо для того, щоб позначити перегин.

Існує дві достатні ознаки того, що знайдена на попередньому етапі абсцису належить точці перегину:Через цю точку можна провести дотичну до графіка функції. Друга похідна має різні знаки праворуч і ліворуч від передбачуваної точки перегину. Таким чином, її існування в самій точці необов'язково, достатньо визначити, що в ній вона змінює знак. Друга похідна функції дорівнює нулю, а третя - ні.

Перша достатня умова є універсальною і застосовується частіше за інших. Розгляньмо ілюструючий приклад: у = (3 • х + 3) • ∛ (х -

5) .Решение.Знайдіть область визначення. У даному випадку обмежень немає, отже, нею є весь простір дійсних чисел. Вирахуйте першу похідну:у "= 3•∛ (х - 5) + (3 • х + 3 )/

∛ (х - 5) З нього випливає, що область визначення похідної обмежена. Точка х = 5 є виколотою, а отже, через неї може проходити дотична, що почасти відповідає першій ознаці достатності

перегину. Визначте односторонні межі для отриманого виразу при х'5 - 0 і х ^ 5 + 0. Вони є рівними, і + порожніми. Ви довели, що через точку х = 5 проходить вертикальна дотична. Ця точка може бути точкою перегину, але спочатку вирахуйте другу похідну:У «» = 1/∛ (х - 5) ^ + 3/∛ (х - 5). - 2/3 • (3 • х + 3 )/ ∛ (х -

5) ^ 5 = (2 • х - 22 )/ ∛ (х - 5) ^ 5.Опустіть знаменник, оскільки точку х = 5 ви вже врахували. Вирішіть рівняння 2 • х - 22 = 0. Воно має єдиний корінь х = 11.Останній етап - підтвердження того, що точки х = 5 і х = 11 є точками перегину. Проаналізуйте поведінку другої похідної в їх околицях. Очевидно, що в точці х = 5 вона змінює знак з «+» на «-», а в точці х = 11 - навпаки. Вивід: обидві точки є точками перегину. Виконано першу достатню умову.