Як вирішувати нерівність

Нерівності відрізняються від рівнянь не тільки знаком «» більше «»/«» менше «», що стоїть між виразами. Тут є свої методи і свої підводні камені

. Нерівності мають як ряд унікальних особливостей, так і риси, схожі з рівняннями
. Одне з основних відмінностей накладає якраз так знак «» більше/менше «». Це означає, що при необхідності помножити обидві частини на який-небудь вираз (наприклад, на знаменник), ми повинні чітко знати його знак (і, звичайно, той факт, що він не дорівнює нулю). Зокрема, це потрібно враховувати при зведенні в квадрат - адже це теж множення
. Подивимося на просто прикладі. Очевидно, що 3 < 5. Помножимо обидві частини на 2. 6<10. Як і раніше все вірно. А тепер помножимо на -2. Отримаємо -12 < -20. А ось це вже не вірно. Просто так нерівності множити на негативні числа або вирази не можна. У цьому випадку знак нерівності потрібно замінити на протилежний

. За винятком цього пункту, до певного моменту вирішуються нерівності так само, як і

рівняння. Приведення до спільного знаменника, пошук виколотих точок, перенесення членів у ліву частину, пошук коріння і розкладання на
множники. Ось. Дійшли до цього самого «» певного моменту «»: розкладання на множники. Далі шляхи вирішення рівнянь і нерівностей

розходяться. Будемо застосовувати для вирішення метод
інтервалів. Малюємо числову
вісь. На ній відзначаємо порожнім кружечком і підписуємо значення виколотих точок, а зафарбованим - невиколотих, і починаємо дізнаватися знак нерівності в кожній з отриманих областей. Для цього беремо будь-яку точку з цієї області (краще яку-небудь зручну) і підставляємо в нерівність на місце x. У підсумку отримуємо деяке число. Залежно від його знака пишемо на числовій осі в даній області «» + «» або «» - «». Далі можна продовжити аналогічні дії для інших областей, а можна і схитрити, оскільки є деякі закономірності для проставлення знаків у методі інтервалів: знаки областей чергуються при переході через наступну точку, якщо відповідний вираз з позначеною на числовій осі точкою зустрічається в нерівності непарна кількість разів, і не змінюються при переході через цю точ
ку, якщо парне. Вибираємо з усіх областей ті, чий знак відповідає нашій

нерівності. У підсумку отримуємо сукупність, яка у відповіді записується як «» ікс належить «...» - на місці багатоточия стоять всі відповідні області або точки. Виколоті точки на кінці області позначаються круглими дужками - вони не включаються у відповідь, невиколоті - квадратними, і вони включаються у відповідь. Поодинокі точки позначаються фігурними дужками, а між областями і точками у відповіді, оскільки це сукупність, ставиться знак об'єднання («
U»). У нерівності для двох змінних все аналогічно, просто виконується аналіз значень не на числовій осі, а на площині.